Question

四道高数题（定积分）

十分着急 谢谢大家🙏

Answer 1

解：第1题，x→0时，属“0/0”型，用洛必达法则，
∴原式=(1/2)lim(x→0)ln(1+2x)/x=lim(x→0)1/(1+2x)=1。
第2题(12题)，∵∫(-1,1)[x^2+(x^3)sin(x^4)-√(1-x^2)]dx=∫(-1,1)x^2dx+∫(-1,1)(x^3)sin(x^4)dx-∫(-1,1)√(1-x^2)dx，
而∫(-1,1)x^2dx=2∫(0,1)x^2=2/3、因(x^3)sin(x^4)在积分区间是奇函数，根据定积分的性质，∫(-1,1)(x^3)sin(x^4)dx=0、∫(-1,1)√(1-x^2)其几何意义表示的是半径为1的半圆的面积，其值是π/2，∴原式=2/3-π/2。
第3题，当x<0时，Φ(x)=∫(0,x)f(t)dx=∫(0,-∞)0dt=0；当0≤x<1时，Φ(x)=∫(0,x)f(t)dt=∫(0,x)f(t)dx=x^2；当1≤x<x时，Φ(x)=∫(0,x)f(t)dt=∫(0,1)f(t)dt+∫(1,x)f(t)dt=1。
第4题(11题)，原式=∫d(e^x)/(e^x+1)=ln(e^x+1)+C。
供参考。