求解欧拉方程x²y″+3xy′+y=0

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wjl371116
2019-01-09 · 知道合伙人教育行家
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知道合伙人教育行家
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求微分方程  x²y″+3xy′+y=0  的通解

解:把原式写成:y''+(3/x)y'+(1/x²)y=0  

由观察可知有特解 y₁=1/x;∵y₁'=-1/x²;y₁''=2/x³;代入原式并化简得:

(2/x³)-3/x³+(1/x³)=0,即y₁=1/x确是原方程的一个特解;那么第二个特解为:

∴原方程的通解为:y=C₁(1/x)+C₂(lnx)/x=(1/x)(C₁+C₂lnx);

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