Question

为什么矩阵等价的充要条件是秩相等？

Answer 1

对的。
矩阵等价的定义：若存在可逆矩阵P、Q，使PAQ=B，则A与B等价。所谓矩阵A与矩阵B等价，即A经过初等变换可得到B。
充分性：经过初等变换，秩是不改变的，即R(A)=R(PAQ)=R(B)。
必要性：设R(A)=R(B)=m,则A经过初等变换一定能化成最简型矩阵，这个最简型矩阵记作C。 C的秩为m。同样，B矩阵经过初等变换能化成一个最简型矩阵，因为B的秩是m，所以B化成的最简型也是C。也就是说，A与C等价，B与C等价，所以，A与B也等价。

Answer 2

a与b等价的意思是存在可逆阵p和q使得paq=b
只要把a和b各自化到等价标准型就清楚了
a=p1d1q1
b=p2d2q2
如果paq=b，那么由a=p1d1q1得b=(p*p1)d1(q1*q)，得到rank(a)=rank(b)=rank(d1)
反过来，rank(a)=rank(b)可得d1=d2，取p=p2p1^{-1}，q=q1^{-1}q2即得paq=b