Question

高一数学题！求解！急

充要条件的探求与证明：
1、已知ab不等于0，求证a+b=1的充要条件是a^3 + b^3 + ab - a^2 - b^2=0.
2、求 aX^2 + 2X -1=0(a不等于0)至少有一负根的充要条件
需要思路和详细解答过程，最好给小弟我归纳下这类题的解法！谢谢！

Answer 1

1.
证明：a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0<=>a^3+b^3=a^2+b^2-ab
<=>(a+b)*(a^2+b^2-ab)=a^2+b^2-ab
<=>(a+b-1)*(a^2+b^2-ab)=0 ---（1）
又a^2+b^2-ab=（a-b/2)^2+3*b^2/4
在ab不等于0时显然a^2+b^2-ab=（a-b/2)^2+3*b^2/4>0
故（1）<=>a+b-1=0 即<=>a+b=1
即a+b=1是a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0的充要条件

2.
首先要保证有根,判别式非负:2平方-4a*1≥0,得a≤1,设两根为x1,x2,
（1）.当0<a≤1,x1+x2=-2/a为负,x1*x2=1/a为正,说明有两个负根,反之亦然.
（2）.当a<0可得x1+x2=-2/a为正,x1*x2=1/a为负,说明有一根为正,一根为负.反之亦然.
综上可知,原方程至少有一负根的充要条件是a≤1