Question

线性代数问题？

n阶矩阵A可对角化一定是要有n个无关的特征向量
因为对角阵中每一个元素都对应一个特征向量，特征向量都满足Ax=xa（常数），所以彼此间线性无关相关吗？
如果有错能帮我改一下，再帮我理理思路吗？谢谢

Answer 1

选c
这个问题有很多种思考方法。
1、直接利用线性相关性的定义。
令这n+1个向量的组合等于0，得到一个n+1元的齐次线性方程组，由于向量是n维向量，所以该方程组只有n个方程，方程的个数少于未知数的个数，从而方程组有非零解，即存在不全为零的数，使得向量的组合等于0，故向量组线性相关。
2、用向量组的秩来考虑。
向量组线性相关的充要条件是向量组的秩小于向量的个数。
你如果将n+1个n维向量拼成一个矩阵，则该矩阵为一个n行n+1列的矩阵，故矩阵的秩必小于n+1，即向量组的秩小于n+1，小于向量的个数，所以向量组线性相关。
3、还可以从n维向量空间的维数来考虑，n维向量空间中，任意n+1个向量都是线性相关的。