Question

极限问题求解

如图，第27题

Answer 1

如图

追问

这么做哪里错了

追答

你翻下书，等价无穷小替换条件，只能是整体乘除时替换。
例如(A＋B)/C，只能对C做等价替换，A、B不可。

例如 (x－sinx)/x³，洛必达原则(或泰勒公式)可以得到答案是1/6，但是不能将分子的sinx直接替换成x

如果lim(A＋B)/C＝limA/C＋limB/C，即A/C与B/C都收敛，可以分开求极限，那么可以对B进行等价无穷小代换，但是该题不满足

追问

这个16题也是这样吗？但把他看成ln与x∧2相乘也不可以带换吗？还是看成ln与x2代换就相当于用了极限的减法运算法则？

追答

极限的四则运算前提是
u、v收敛，
才有 lim(u±v)＝limu±limv，
这里的x与x²ln(1+ 1/x) 发散，所以不能分开求，所以不能等价代换

你翻翻书，尤其是等价无穷小替换定理的证明过程

追问

那就算这题不能用四则运算，根据无穷小代换条件只要求被代换量极限为为无穷小，不能看做事x∧2与ln的乘积来代换吗？

追答

你看看定理(1)，f(x)g(x)收敛于A，才做等价替换，
x²ln(1+1/x)发散！

追问

知道了，非常感谢

还有个问题想请您帮忙解答

第25题为什么括号里不能直接用重要极限一变成1来做

追答

追问

大神求解答

追答

稍等

追问

谢谢啦！

这道题为什么不能拆开来做

追答

拆开两个都发散

而且2(cosx－1)~－x²，x→0

只有当f，g收敛，才有
lim(f＋g)＝limf＋limg

函数极限的四则运算，首先是f、g收敛

第二行你也不能将(cosx－1)直接用等价无穷小代换

呃，这些原则上面都讲过了

追问

拆开怎么看出他是发散的

追答

1/x²→∞，发散

拆成两个，如果能看出其中一个收敛，就可以试着拆开。看不出的话，就用其它方法，不要拆

再这么来回问，我不回了

追问

懂了懂了谢谢！