Question

f(x)在(a，b)上连续，证明存在∑∈(a，b)使得f(∑)＝pf(a)+qf(b)/(p+q)？

Answer 1

若 f(a) < f(b) ，那么就有 f(a)= (p+q) f(a)/(p+q)= [pf(a)+qf(a)]/(p+q)< [pf(a)+qf(b)]/(p+q)< [pf(b)+qf(b)]/(p+q)= (p+q) f(b)/(p+q)= f(b)，即 f(a) < f(∑) < f(b) ；
同理若 f(a) > f(b) ，可得f(a) > f(∑) > f(b)
综上，因为f(x) 在(a，b)，是连读的，所以满足条件的f(∑)必然存在，而要使存在的f(∑)有意义，那么∑必然在定义域内，即证毕

Answer 2

f(x)=x^2-1在(0，1)上连续，a=0，b=1，f(a)=f(0)=-1，f(b)=f(1)=0
f(x)∈(-1，0)，f(∑)∈(-1，0)，
令p=-100，q=101，则p+q=1
pf(a)+qf(b)/(p+q)=-100*(-1)+101*0=100>f(∑)
你的问题是从哪里来的？？？
还有，f(x)在(a，b)上连续，不一定在[a，b]连续，f(x)在 a、b 两点的值可以任意定义

Answer 3