Question

求极限limn→∞（1-1/3）（1-1/6）...（1-2/n（n+1））详细过程

Answer 1

1-2/n(n+1)=(n^2+n-2)/n(n+1)。

=(n+2)(n-1)/n(n+1)。

于是(1-1/3)(1-1/6）...(1-2/n(n+1))。

=1*4/(3*2) *2*5/(4*3) *3*6/(5*4) *……*(n+2)(n-1)/n(n+1)。

= 1*2*3*…*(n-1) *4*5*6*…*(n+2)/[(2*3*4*…*n *3*4*5*…*(n+1)]。

通过约分之后即为：(n-1)/n *(n+2)/3(n+1)。

于是n趋于无穷大的时候，极限值为1/3。

N的相应性　

一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

Answer 2

显然可以得到
1-2/n(n+1)=(n^2+n-2)/n(n+1)
=(n+2)(n-1)/n(n+1)
于是(1-1/3)(1-1/6）...(1-2/n(n+1))
=1*4/(3*2) *2*5/(4*3) *3*6/(5*4) *……*(n+2)(n-1)/n(n+1)
= 1*2*3*…*(n-1) *4*5*6*…*(n+2)/[(2*3*4*…*n *3*4*5*…*(n+1)]
通过约分之后即为
(n-1)/n *(n+2)/3(n+1)
于是n趋于无穷大的时候，极限值为1/3