Question

一道初二数学题，求解😂

如图,四边形abcd是平行四边形,AD=AC,AD丄AC,E是AB的中点,F是AC延长线上一点。
1.若ED丄EF，求证：ED=EF；
2.若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直，请给出证明.

Answer 1

解：这道题看似简单，证明这种逻辑关系，还是稍有麻烦。见下图：

因为：ABCD是平行四边形，所以BC=AD=AC(已知); 

所以△ACB和△ACD都是等腰直角三角形。

（1）因为ED⊥EF，所以，ADFE四点共圆；AE是共圆的一条弦，根据垂径定理，作AE的垂直平分线GH分别交DF于G（为共圆的圆心），交AB于H，交AC于I；联结IE，得等腰Rt△IAE；联结BD，交于点I；延长BC，必交于G点（因为，是△ABC的中位线）；GC是Rt△FDA的中位线。那么BG垂直平分AF，联结CE，联结AF；则△FAB为等腰Rt△（因为∠CAB=45D，本题的难点：求作FB的依据，也可能还会有更好的方法）。

在 Rt△DCE和Rt△FBE中，因为FB=AB(等腰三角形的两腰）=CD（平行四边形对边）；

CE=BE(等腰三角形两腰)；∠DCE=∠FBE；

所以Rt△DCE≌Rt△FBE；

则DE=FE（对应边）。

（2）若DE=FE，同样可以证明，DE⊥FE。 作EG⊥DF于G（见蓝色辅助线），保留原红色辅助线（GH,AB没有用了），联结GA，则△GAF和△BFA为同底等腰三角形，BCG垂直平分AF；在△DAE和△FCE中，因为AE=CE(等边三角形两腰)，同理DA=AC=FC，DE=FE(已知)；

所以△DAE≌△FCE(S,S,S); 所以∠DEA=∠FEC(对应角)；∠AEC=∠DEA+∠DEC=∠FEC+∠FEB=90D，所以，∠DEC=∠FEC（等量减等量其差相等）；则∠DEF=∠DEC+∠CEF=90D，

所以DE⊥FE。证毕。

Answer 2

Answer 3

Answer 4

因为角DAF＝角DEF＝90度，可以推出ADEF四点共圆，再结合平行线性质便可轻松解题

Answer 5

第一个题，连接ce，求证ADE跟AEF一样（那个词我忘了不好意思），然后就出来了