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求微分方程 x''-2x'+2x=te^t的通解
解：齐次方程 x''-2x'+2x=0的特征方程 r²-2r+2=0的根 r₁=(2-2i)/2=1-i；r₂=1+i；
因此齐次方程的通解为：x=(e^t)(c₁cost+c₂sint);
设其特解为：x*=(at+b)e^t；则x*'=ae^t+(at+b)e^t=(a+b+at)e^t............①;
x*''=a(e^t)+(a+b+at)e^t=(2a+b+at)e^t..............②；
将①②代入原式并消去e^t得：(2a+b+at)-2(a+b+at)+2(at+b)=b+at=t，故b=0,a=1;
于是特解为：x*=te^t；
∴ 原方程的通解为：x=(e^t)(c₁cost+c₂sint)+te^t；
解：齐次方程 x''-2x'+2x=0的特征方程 r²-2r+2=0的根 r₁=(2-2i)/2=1-i；r₂=1+i；
因此齐次方程的通解为：x=(e^t)(c₁cost+c₂sint);
设其特解为：x*=(at+b)e^t；则x*'=ae^t+(at+b)e^t=(a+b+at)e^t............①;
x*''=a(e^t)+(a+b+at)e^t=(2a+b+at)e^t..............②；
将①②代入原式并消去e^t得：(2a+b+at)-2(a+b+at)+2(at+b)=b+at=t，故b=0,a=1;
于是特解为：x*=te^t；
∴ 原方程的通解为：x=(e^t)(c₁cost+c₂sint)+te^t；
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