Question

f(x)=x^2+4x,x>=0;4x-x^2,x<0,若f(2-a^2)>f(a),则实数a的取值范围是

Answer 1

f(x)=x^2+4x,x>=0;
f(x)=4x-x^2,x<0,
若f(2-a^2)>f(a)求实数a的取值范围。
首先判断f(2-a^2)的因素X的正负，可知要使2-a^2>0，则-√2<a<√2
即要分成四段来分析不等式f(2-a^2)>f(a)
当a<-√2时，当-√2<a<0时，当0<a<√2时，当a>√2时。

当a<-√2时, 2-a^2和a都小于0，
不等式f(2-a^2)>f(a)为4(2-a^2)-(2-a^2)^2>4a-a^2
解开得 8-4a^2-4-a^4+4a^2-4a+a^2>0
-a^4+a^2-4a+4>0
-a^2(a^2-1)-4(a-1)>0
-a^2(a-1)(a+1)-4(a-1)>0
-a^2(a-1)(a+1-4)>0
-a^2(a-1)(a-3)>0
因为a<-√2所以-a^2<-2，(a-1)<0，(a-3)<0
所以-a^2(a-1)(a-3)<0的。
即在区间a<-√2上f(2-a^2)>f(a)不成立

当-√2<a<0时, 2-a^2>0,a<0，
不等式f(2-a^2)>f(a)为 (2-a^2)^2+4(2-a^2)>4a-a^2
解开得 4+a^4-4a^2+8-4a^2-4a+a^2>0
a^4-7a^2-4a+12>0
(a^2-3)(a^2-4)>4a
因为-√2<a<0所以(a^2-3)<0，(a^2-4)<0，即(a^2-3)(a^2-4)>0，而4a<0
所以(a^2-3)(a^2-4)>4a 成立。。
即在区间-√2<a<0上f(2-a^2)>f(a)成立

当0<a<√2时, 2-a^2>0,a>0，
不等式f(2-a^2)>f(a)为 (2-a^2)^2+4(2-a^2)> a^2+4a
解开得 4+a^4-4a^2+8-4a^2-a^2-4a>0
a^4-9a^2-4a+12>0
a^2(a-3)(a+3)-4(a-3)>0
a^2(a-3)(a-1)>0
因为0<a<√2所以2>a^2>0，(a-3)<0，
则要使a^2(a-3)(a-1)>0，必须(a-1)<0
即a<1
即在区间0<a<1上f(2-a^2)>f(a)成立

当a>√2时, 2-a^2<0,a>0，
不等式f(2-a^2)>f(a)为 4(2-a^2)-(2-a^2)^2> a^2+4a
解开得 8-4a^2-4-a^4+4a^2-a^2-4a>0
-a^4-a^2-4a+4>0
-a^2(a^2+1)-4(a-1)>0
因为a>√2所以-a^2(a^2+1)<0，-4(a-1)<0
所以-a^2(a^2+1)-4(a-1)>0不成立
即在区间a>√2上f(2-a^2)>f(a)不成立

综上所述，f(2-a^2)>f(a)不等式中a的取值范围为（-√2，1）。

Answer 2

楼上提供的方法不好！
直接数形结合，画出大致图形可以发现是一个单调递增函数故：
2-a^2>a==》-2<a<1