Question

最简单的一道三重积分题？

计算三重积分I=∫∫∫Ω(x^2+y^2+z^2)dv，其中积分区域：x^2+y^2+z^2≤1.
求详细过程，尽可能把过程写全那种。答案是4π/3-1/2，但是我死活算不出来……感觉很怀疑人生

Answer 1

这个题答案应该是4π/5
将直角坐标系转换成球面坐标系
x=rsinθcosφ.
y=rsinθsinφ.
z=rcosθ.
r∈[0,1]，θ∈[0, π]， φ∈[0,2π]
所以
dV=dl(r)*dl(θ)*dl(φ)=r^2sinθdrdθdφ.
I=∫∫∫(x^2+y^2+z^2)dV
=∫∫∫r^2dV
=∫∫∫r^4sinθdrdθdφ
=∫dφ∫dθ∫r^4sinθdr
=1/5∫dφ∫sinθdθ
=2/5∫dφ
=4π/5

Answer 2

化为球坐标。 令 x = rsinφcosθ, y = rsinφsinθ, z = rcosφ, 则
I = ∫∫∫<Ω>(x^2+y^2+z^2)dv
= ∫<0, π>dφ∫<0, 2π>dθ∫<0, 1> r^2·r^2sinφdr
= ∫<0, π>sinφdφ∫<0, 2π>dθ∫<0, 1> r^4dr
= 2π[-cosφ]<0, π> [r^5/5]<0, 1> = 4π/5
你给的题目与答案不符， 怀疑有误。请附印刷版原题及答案。

Answer 3

还是不简单，更别说最简单了，否则的话你就不来这里求人了。

Answer 4

4π/3-1/2？