Question

高一数学三角函数有解问题？

sinx-√3cosx=a，x∈[0，π]
①有解，求a的范围
②有一解，求a的范围
③有两解，求a的范围

Answer 1

画图

容易把a表示出来

Answer 2

sinx-√3cosx=a
==> 2[sinx·(1/2)-cosx·(√3/2)]=a
==> 2sin[x-(π/3)]=a
==> sin[x-(π/3)]=a/2
已知x∈[0,π]，则x-(π/3)∈[-π/3,2π/3]
令t=x-(π/3)，则sint=a/2，t∈[-π/3,2π/3]——作出其草图
由草图上显而易见有：
(1)当a/2∈[-√3/2,1]，即a∈[-√3,2]时有解；
(2)当a/2=1，或者a/2∈[-√3/2,√3/2)，即a=2，或a∈[-√3,√3)时有一解；
(3)当a/2∈[√3/2,1)，即a∈[√3,2)时有两解。

追问

也谢谢你。。

Answer 3

解：因为
sinx-√3cosx＝a
等价于 (sinx)(1/2)-(cosx)(√3/2)＝a/2
等价于 sin(x-π/3)＝a/2，
再由 x∈[0,π] 得 x-π/3∈[-π/3, 2π/3]，
又因为
sin(-π/3)＝-√3/2，sin(2π/3)＝√3/2，
所以，sin(x-π/3)的值是先由-√3/2递增到1，再由1递减到√3/2，所以
①若方程 sinx-√3cosx＝a 即 sin(x-π/3)＝a/2 有解，则
a/2∈[-√3/2, 1]，从而 a∈[-√3, 2]；
②若方程 sinx-√3cosx＝a 即 sin(x-π/3)＝a/2 仅有一解，则
a/2∈[-√3/2, √3/2)∪{1}，
从而 a∈[-√3, √3)∪{2}；
③若方程 sinx-√3cosx＝a 即 sin(x-π/3)＝a/2 有两解，则
a/2∈[√3/2, 1)，从而 a∈[√3, 2) .

追问

谢谢

Answer 4

sinx-√3cosx=2sin(x-π/3)
①有解，a的范围[-1,2]
②有一解，a的范围[-1,1)
③有两解，a的范围[1,2)