Question

函数可微，那么偏导数一定存在，且连续吗？

Answer 1

函数可微则这个函数一定连续，但连续不一定可微．多元函数可微则偏导数一定存在，可微比偏导数存在要求强而偏导数连续可以退出可微，但反推不行。

若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。必要条件：若函数在某点可微，则函数在该点必连续，该函数在该点对x和y的偏导数必存在。

设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义,对这个邻域中的点P(x,y)=(x0+△x,y0+△y),若函数f在P0点处的增量△z可表示为:

△z＝f（x0＋△x，y＋△y）－f（x0，y0）＝A△x＋B△y＋o（ρ），其中A，B是仅与P0有关的常数，ρ＝〔（△x）＾2＋（△y）＾2〕＾0．5．o（ρ）是较ρ高阶无穷小量，即当ρ趋于零是o（ρ）／ρ趋于零．则称f在P0点可微。

可微的充要条件是曲面z＝f（x，y）在点P（x0，y0，f（x0，y0））存在不平行于z轴的切平面Π的充要条件是函数f在点P0（x0，y0）可微，这个切面的方程应为Z－z＝A（X－x0）＋B（Y－y0）。

扩展资料：

可微函数的图像在定义域内的每一点上必存在非垂直切线。因此，可微函数的图像是相对光滑的，没有间断点、尖点或任何有垂直切线的点。

一般来说，若X是函数ƒ定义域上的一点，且ƒ′（X）有定义，则称ƒ在X点可微。这就是说ƒ的图像在（X，ƒ（X））点有非垂直切线，且该点不是间断点、尖点。

实践中运用的函数大多在所有点可微，或几乎处处可微。但斯特凡·巴拿赫声称可微函数在所有函数构成的集合中却是少数。这表示可微函数在连续函数中不具代表性。

参考资料：百度百科-可微函数

Answer 2

函数可微，那么偏导数一定存在，且连续。

若函数在某点可微分，则函数在该点必连续；若二元函数在某点可微分，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。

扩展资料

偏导数的几何意义：

二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数f'x(x0,y0)是曲面z=f(x,y)与平面y=y0的交线，即是平行于zOx坐标面的平面y=y0上的曲线z=f(x,y0)在点P(x0,y0,f(x0,y0))处的切线的斜率，也就是切线与该平面和xOy的交线。

沿x轴方向的夹角的正切，如果把切线平移到zOx面上的话，夹角就是切线对x轴的倾斜角。偏导数的几何意义：就是一条曲线上的斜率。

参考资料来源：

百度百科-可微

Answer 3

对于一元函数
函数连续 不一定 可导 如y=|x|
可导 一定 连续 即连续是可导的必要不充分条件
函数可导必然可微
可微必可导 即可导是可微的必要充分条件
对于多元函数
偏函数存在不能保证该函数连续 如 xy/(x^2+y^2) x^2+y^2不等于0
（不同于一元函数） z= f(x,y)=
0 x^2+y^2=0
函数连续当然不能推出偏导数存在 由一元函数就知道

追问

是可微能推出连续且偏导数存在吗？

追答

函数在x0点连续的充要条件为f(x0)=lim(x→x0)f(x),即函数在此点函数值存在,并且等于此点的极限值
若某函数在某一点导数存在,则称其在这一点可导,否则称为不可导.可导的充要条件是此函数在此点必须连续,并且左导数等于右倒数.（我们老师曾经介绍过一个Weierstrass什么维尔斯特拉斯的推导出来的函数处处连续却处处不可导,有兴趣可以查一下）
可微在一元函数中与可导等价,在多元函数中,各变量在此点的偏导数存在为其必要条件,其充要条件还要加上在此函数所表示的广义面中在此点领域内不含有“洞”存在,可含有有限个断点.
函数可积只有充分条件为：①函数在区间上连续②在区间上不连续,但只存在有限个第一类间断点（跳跃间断点,可去间断点）上述条件实际上为黎曼可积条件,可以放宽,所以只是充分条件
可导必连续,连续不一定可导,即可导是连续的充分条件,连续是可导的必要条件
一元函数中可导与可微等价,多元函数中可微必可导,可导不一定可微,即可微是可导的充分条件,可导是可微的必要条件
所以按条件强度可微≥可导≥连续
可积与可导可微连续无必然关系

Answer 4

可微则偏导数存在偏导数存在不一定可微只有偏导数存在且连续
才能推出可微给你个
偏导
可微
和函数连续的关系函数连续偏导数存在
这个2个推倒关系不可逆向推倒
逆向均不成立

Answer 5

简单分析一下，详情如图所示