Question

在△ABC中，若sin(2π-A）=-√2sin(π-B），√3cosA=-√2cos(π-B），求sinAcosB的值。

Answer 1

sin(2π-A)=sin(-A)=
-sinA
sin(π-B)=sinB
cos(π-B)=
-cosB
所以由sin(2π-A）=-√2sin(π-B）得到：-sinA=-√2sinB，即sinA=√2sinB.
----(1)
又√3cosA=-√2cos(π-B)=√2cosB，----(2)
(1)式两边平方：sinA的平方=2sinB的平方
(2)式两边平方：3cosA的平方=2cosB的平方
相加：得到sinA的平方+3cosA的平方=2
又sinA的平方+cosA的平方=1
以上两式相减得到cosA的平方=1/2，sinA的平方=1/2
，
所以sinA=√2/2,
cosA=√2/2或者-√2/2
将cosA代入(2)式，得到cosB=√3/2或者-√3/2
因为当cosA=√2/2，cosB=-√3/2时，A、B都为钝角，这在三角形中是不可能的。所以只能取cosB=√3/2
sinAcosB=√2/2
* √3/2=√6/4