Question

一道一元二次方程题

方程x^2+(m-17)x+m-2=0的两个根都是正整数，求整数m的数值。
先谢谢了。

Answer 1

由题：
△=（m-17)^2-4（m-2)>=0
得m＞＝27或m<=11，
因为两根都是正整数，故
两根之和：17-m>=2 →m<=15
两根之积：m-2>=1 →m>=3
故m的取值范围：[3,11]
又因为m为整数，所以算得m=9，m=11.

Answer 2

解:设方程的两根分别为X1,X2(X1≥X2),则:
Δ=(m-17)^2-4(m-2)≥0，得：m≥27或m≤11;(1)
X1*X2=m-2; (2)
X1+X2=17-m;(3)
(1)+(2)得:
X1*X2+(X1+X2)=15,
X1*X2+(X1+X2)+1=16.
(X1+1)(X2+1)=16*1=8*2=4*4=(-1)*(-16)=(-2)*(-8)=(-4)*(-4)
1)若X1+1=16;X2+1=1,即X1=15,X2=0.X1*X2=0=m-2,m=2;
2)若X1+1=8;X2+1=2,即X1=7,X2=1.X1*X2=7=m-2,m=9;
3)若X1+1=4;X2+1=4,即X1=X2=3.X1*X2=9=m-2,m=11;
4)若X1+1=-1;X2+1=-16,即X1=-2,X2=-17.X1*X2=34=m-2,m=36;
5)若X1+1=-2;X2+1=-8,即X1=-3,X2=-9.X1*X2=27=m-2,m=29;
6)若X1+1=-4；X2+1=-4，即X1=X2=-5.X1*X2=25=m-2,m=27.
∴m的值为2、9、11、36、29或27。

Answer 3

由判别式 (m-17)2-4(m-2) ≥ 0 ，可得：m ≤ 11 或 m ≥ 27 ；
由韦达定理，可得：x1+x2 = 17-m ， x1·x2 = m-2 ；
因为，x1和x2都是正整数，
所以，17-m = x1+x2 ≥ 2 ， m-2 = x1·x2 ≥ 1 ，
可得：3 ≤ m ≤ 15 ，
综上，3 ≤ m ≤ 11 。
一一检验，只有
当 m = 9 时，x1 = 1 ，x2 = 7 满足题意；
当 m = 11 时，x1 = x2 = 3 满足题意；
所以，整数 m = 9 或 11 。