Question

一道数学证明题！！！

已知a、b、c的范围都在(0,1)内，求证：(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a不能同时大于1/4。

Answer 1

采用反证法。
证明：
假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于1/4
因0<a<1,0<b<1,0<c<1
所以有
√((1-a)b)>1/2,√((1-b)c)>1/2,√((1-c)a)>1/2
则
√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a) > 3/2 (*)
而由基本不等式：a,b∈R+, a+b≥2√(ab), 有
√((1-a)b)≤(1-a+b)/2，
√((1-b)c)≤(1-b+c)/2，
√((1-c)a)≤(1-c+a)/2
所以
√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)≤3/2

这与已知的：√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a) > 3/2 (*)矛盾

所以假设不成立,
故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个小于或等于1/4
证毕。