Question

2的a次方=5的b次方=10的c次方，求证：ab=ac+bc

Answer 1

证明：因为2^a=5^b=10^c≠1，所以a、b、c≠0。
在2^a=10^c的两边同乘1/a次方，得
(2^a)^(1/a)=(10^c)^(1/a)
2=10^(c/a)
在5^b=10^c的两边同乘1/b次方，得
(5^b)^(1/b)=(10^c)^(1/b)
5=10^(c/b)
把所得两式相乘得
2×5=10^(c/a)×10^(c/b)
10=10^(c/a+c/b)
底数相同，所以次数相等，可得
1=c/a+c/b
两边同乘以ab，得
ab=ac+bc

Answer 2

用^来表示多少次方，则原题变形为：
已知：2^a=5^b=10^c，求证：ab=ac+bc。
证明：因为2^a=5^b=10^c≠1，所以a、b、c≠0。
在2^a=10^c的两边同乘1/a次方，得
(2^a)^(1/a)=(10^c)^(1/a)
2=10^(c/a)
在5^b=10^c的两边同乘1/b次方，得
(5^b)^(1/b)=(10^c)^(1/b)
5=10^(c/b)
把所得两式相乘得
2×5=10^(c/a)×10^(c/b)
10=10^(c/a+c/b)
底数相同，所以次数相等，可得
1=c/a+c/b
两边同乘以ab，得
ab=ac+bc

Answer 3

证明：∵2^a=5^b=10^c
∴等式两边取以10为底的对数，得
alog2=blog5=clog10
即
alog2=blog5=c
从而
a=c/log2,b=c/log5
∴ac+bc=c^2/log2+c^2/log5
=c^2(log2+log5/(log2*log5))
=c^2(log10/(log2*log5))
=c^2/(log2*log5)
①
ab=c/log2*c/log5=c^2/(log2*log5)
②
由①②得
ab=ac+bc.

Answer 4

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翠振英尾培
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证明：因为2^a=5^b=10^c≠1，所以a、b、c≠0。
在2^a=10^c的两边同乘1/a次方，得
(2^a)^(1/a)=(10^c)^(1/a)
2=10^(c/a)
在5^b=10^c的两边同乘1/b次方，得
(5^b)^(1/b)=(10^c)^(1/b)
5=10^(c/b)
把所得两式相乘得
2×5=10^(c/a)×10^(c/b)
10=10^(c/a+c/b)
底数相同，所以次数相等，可得
1=c/a+c/b
两边同乘以ab，得
ab=ac