Question

(e^((1+x)^1/x)-(1+x)^e/x)/x^2 x趋近于零时的极限

Answer 1

设e^(1/x)中,x=0无定义,所以是不连续的，
x----0+时,1/x趋于正无穷大,e^(1/x)趋于正无穷大,设t=e^(1/x)
t趋于无穷时：
lim(t+1)/(t-1)=1；
x----0-时,1/x趋于负无穷大,e^(1/x)趋于0,设t=e^(1/x)
t趋于0时：
lim(t+1)/(t-1)=(0+1)/(0-1)=-1。
扩展资料：
“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。
数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。
极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。
数列极限
定义
可定义某一个数列{xn}的收敛：设{xn}为一个无穷实数数列的集合。如果存在实数a，对于任意正数ε
（不论其多么小），都
，使不等式
在
上恒成立，那么就称常数a是数列{xn}
的极限，或称数列{xn} 收敛于a。
记作
或
。
如果上述条件不成立，即存在某个正数ε，无论正整数N为多少，都存在某个n>N，使得
，就说数列{xn}不收敛于a。如果{xn}不收敛于任何常数，就称{xn}发散。
对定义的理解：
1、ε的任意性　定义中ε的作用在于衡量数列通项
与常数a的接近程度。ε越小，表示接近得越近；而正数ε可以任意地变小，说明xn与常数a可以接近到任何不断地靠近的程度。
但是，尽管ε有其任意性，但一经给出，就被暂时地确定下来，以便靠它用函数规律来求出N；
又因为ε是任意小的正数，所以ε/2
、3ε
、ε2 等也都在任意小的正数范围，因此可用它们的数值近似代替ε。同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个某一个确定的正数。
2、N的相应性　一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使
成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使
成立）。
重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。
3、从几何意义上看，“当n>N时，均有不等式
成立”意味着：所有下标大于N的
都落在(a-ε，a+ε)内；而在(a-ε，a+ε)之外，数列{xn}
中的项至多只有N个（有限个）。
换句话说，如果存在某
，使数列{xn}
中有无穷多个项落在(a-ε0，a+ε0)
之外，则{xn}
一定不以a为极限。
注意几何意义中：
1、在区间(a-ε，a+ε)之外至多只有N个（有限个）点；
2、所有其他的点
（无限个）都落在该邻域之内。这两个条件缺一不可，如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a；而如果一个数列收敛于a，则这两个条件都能满足。
换句话说，如果只知道区间(a-ε，a+ε)之内有{xn}的无数项，不能保证(a-ε，a+ε)之外只有有限项，是无法得出{xn}收敛于a的，在做判断题的时候尤其要注意这一点。
参考资料：搜狗百科-极限