Question

f(x)是定义在（0,+无穷）上的单调函数，f(x)f[f(x)+1/x]=1，求f(1)=？

Answer 1

设f(1)=t,则f(1)f[f(1)+1/1]=1,即t*f(t+1)=1,
f(t+1)=1/t
又f(t+1)*f[f(t+1)+1/(t+1)]=1，即1/t*f[1/t+1/(t+1)]=1
即f[1/t+1/(t+1)]=t
又f(1)=t,知f(1)=f[1/t+1/(t+1)],由f(x)是定义在（0,+无穷）上的单调函数知
1/t+1/(t+1)=1
即t^2-t-1=0
解得:t=(1±根号5)/2
(经检验，当t=(1+根号5)/2时，f(x)单减，当t=(1-根号5)/2时，f(x)单增）

Answer 2

,y>0,满足f(x/y)=f(x)-f(y)
令x=y=1
f(1)=f(1)-f(1)=0
f(1)=0
f(6)=1
令x=36,y=6
f(36/6)=f(36)-f(6)
f(6)=f(36)-f(6)
2f(6)=f(36)
f(36)=2
f(x+3)-f(1/3)<2
对一切x,y>0,满足f(x/y)=f(x)-f(y)
f[(x+3)/(1/3)]<2=f(36)
f(3x+9)<f(36)
f(x)是定义在0到正无穷上的增函数
所以
3x+9<36
3x<27
x<9
f(x)是定义在0到正无穷上的增函数
所以x>0
所以不等式的解为
0<x<9