Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交AC于点E，交BC于点D。求证：

Answer 1

（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵点D是BC的中点，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC，
∵AB=BC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC为等边三角形．
（2）解：连接BE．
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴BE⊥AC，
∵△ABC是等边三角形，
∴AE=EC，即E为AC的中点，
∵D是BC的中点，故DE为△ABC的中位线，
∴DE=
1
2
AB=
1
2
×2=1．
（3）解：存在点P使△PBD≌△AED，
由（1）（2）知，BD=ED，
∵∠BAC=60°，DE∥AB，
∴∠AED=120°，
∵∠ABC=60°，
∴∠PBD=120°，
∴∠PBD=∠AED，
要使△PBD≌△AED；
只需PB=AE=1．

Answer 2

（1）连接AD
∴∠ADB=90°
∵AB=AC
AD⊥BC
∴D为BC中点
【等腰三角形的高和中线是重合的……
（2）∵AB为直径
D.E在圆上
∴∠ADB=∠ADC=∠BEA=∠BEC=90°
∴△BEC.△ADC中
∠BEC=∠ADC
∠C=∠C
∴△BEC∽△ADC
（3）∵△BEC∽△ADC
∴CD：CE=AC：BC
∴DC*BC=CE*AC
∵D为BC中点
∴CD=1/2
BC
∵AC=AB
∴1/2
BC*BC=CE*AB
∴BC平方=2AB*CE

Answer 3

证明：
（1）连接AD
∵AB是直径
∴∠ADB=90º，即AD⊥BC
∵AB=AC
∴AD平分BC【三线合一】，即D是BC的中点
（2）
连接BE
∵AB是直径
∴∠AEB=90º
则∠BEC=∠ADC=90º
又∵∠BCE=∠ACD【公共角】
∴⊿BEC∽⊿ADC（AA）
（3）
∵⊿BEC∽⊿ADC
∴BC/AC=CE/CD
转化为BC×CD=AC×CE
∵CD=½BC，AB=AC
∴BC²=2AB×CE

Answer 4

3.
BC²=2AB×CE】
证明：
（1）连接AD
∵AB是直径
∴∠ADB=90º，即AD⊥BC
∵AB=AC
∴AD平分BC【三线合一】，即D是BC的中点
（2）
连接BE
∵AB是直径
∴∠AEB=90º
则∠BEC=∠ADC=90º
又∵∠BCE=∠ACD【公共角】
∴⊿BEC∽⊿ADC（AA）
（3）
∵⊿BEC∽⊿ADC
∴BC/AC=CE/CD
转化为BC×CD=AC×CE
∵CD=½BC，AB=AC
∴BC²=2AB×

Answer 5

【3.
BC²=2AB×CE】
证明：
（1）连接AD
∵AB是直径
∴∠ADB=90º，即AD⊥BC
∵AB=AC
∴AD平分BC【三线合一】，即D是BC的中点
（2）
连接BE
∵AB是直径
∴∠AEB=90º
则∠BEC=∠ADC=90º
又∵∠BCE=∠ACD【公共角】
∴⊿BEC∽⊿ADC（AA）
（3）
∵⊿BEC∽⊿ADC
∴BC/AC=CE/CD
转化为BC×CD=AC×CE
∵CD=½BC，AB=AC
∴BC²=2AB×CE