Question

高数微分方程的一道题，y"-y'^2=1，求方程的通解。

Answer 1

解：设y'=p，则y''=pdp/dy
代入原方程，得pdp/dy-p²=1
==>pdp/(1+p²)=dy
==>d(1+p²)/(1+p²)=2dy
==>ln(1+p²)=2y+ln(C1²)
(C1是积分常数)
==>1+p²=C1e^(2y)
==>p=±√[C1²e^(2y)-1]
==>dy/√[C1²e^(2y)-1]=±dx
==>e^(-y)dy/√[C1²-e^(-2y)]=±dx
==>d[e^(-y)]/√[C1²-e^(-2y)]=±dx
==>arcsin[e^(-y)/C1]=C2±x
(C2是积分常数)
==>e^(-y)=C1sin(C2±x)
故原方程的通解是e^(-y)=C1sin(C2±x)
(C1,C2是积分常数)。

Answer 2

首先，因为通解中只有一个任意常数，所以微分方程一定是一阶的。其次，求出一阶导数y'，消去其中的常数c：y'=2cx，由y=cx^2得c=y/x^2，代入得y'=2×y/x^2×x，即xy'=2y