Question

已知函数f(x)=log2(x+1),g(x)=log2(3x+1)

Answer 1

1.
使g(x)≥f(x)成立的x的取值范围，就是使g(x)-f(x)≥0的X范围,
g(x)-f(x)=log2(3x+1)-log2(x+1)
=log2((3x+1)/(x+1))
若使上式≥0，首先((3x+1)/(x+1))必须大于0，且x+1>0，且3x+1>0;
这是由对数的性质决定的；
而且根据对数图象的性质，只有当((3x+1)/(x+1))≥1时才能使
log2((3x+1)/(x+1))≥0
解：((3x+1)/(x+1))≥1
　　　　当　x+1>0
(此时x>-1)，2x+1>x+1
　　　2x>0,
x>0
　　　
因为3x+1>0,
故
x>-1/3
　　　
　　
综合得：　x>0
　　　
当x+1<0，f(x)=log2(x+1)　不成立
　故：题目1的答案是：x>0
2.
令F(x)=(x+1)/(3x+1),
任取0
0
F(x2)-F(x1)<0,
F(x)
是减函数,
F(x)当x趋近正无穷时最小；
　　根据函数的性质知：函数f(x)=log2(x)是增函数，即当x最小时取得最小值；
　　综上：当x趋向于正无穷时得到g(x)-f(x)的最小值：
g(x)-f(x)的最小值是x趋向正无穷时下式的极限：
　　log2((3x+1)/(x+1))=log2((3x+3-2)/(x+1))
=log2(3-2/(x+1))
当x趋向于正无穷时,
2/(x+1)趋向0,
故g(x)-f(x)的最小值趋向log2(3)　　
在1.的范围内求出y=g(x)-f(x)的最小值