Question

一道高中数学不等式的题目

x^2+y^2+z^2=2
求证： x+y+z≤xyz+2
x,y,z 属于 R
其实..x=y=1 z=0 时...是等号成立的条件....不能再放缩了...

Answer 1

只要说明在x^2+y^2+z^2=2的条件下
函数f(x,y,z)=x+y+z-xyz的最大值不超过2即可

1）首先x^2+y^2+z^2=2限制了空间点(x,y,z)在半径为根号2的球面上，
函数f(x,y,z)在该球面上一定有最大最小值

2）抱歉，函数f关于x,y,z仅仅是轮换对称，解出最值点有些麻烦，要用微积分，最终可能的解有8组：
第1,2组：x=0，y=z=1或-1
第3,4组：y=0，x=z=1或-1
第5,6组：z=0，x=y=1或-1
第7,8组：z=y=z=根号(2/3)或-根号(2/3)

3）检验f在这8组解上的值得到3组最大值点（f=2）
第1组：x=0，y=z=1；第3组：y=0，x=z=1；第5组：z=0，x=y=1；
还有3组最小值点(f=-2)：
第2组：x=0，y=z=-1；第4组：y=0，x=z=-1；第6组：z=0，x=y=-1；
其余2组是鞍点（既非最大也非最小）。

这就说明在球面上-2<=f(x,y,z)<=2，
或者说当x^2+y^2+z^2=2时|x+y+z-xyz|<=2