Question

数学必修一中判断函数的单调性方法。

Answer 1

1.
设f(x)=ax^2
bx
c,a≠0
f(0)=c=0
c=0
f(x
1)-f(x)=a(x
1)^2
b(x
1)-(ax^2
bx)
=a(2x
1)
b
=2ax
(a
b)
=2x
a=1
b=-1
f(x)=x^2-x;
2.
f(x)=x^2-x的图像是顶点为(1/2,-1/4)，开口向上的抛物线，
所以只要y=2x
m在(1/2,-1/4)下方即可，
2(1/2)
m＜-1/4
m＜-5/4
f(0)=c=1
f(x)=x^2-x
1
2.
顶点为(1/2,3/4)，
只要y=2x
m在(1/2,3/4)下方即可，
2(1/2)
m＜3/4
m＜-1/4
设f(x)=x
√1
2x，x∈[-1/2，
∞）
取x1<x2，且x1、x2∈[-1/2，
∞），则x1-x2<0，√1
2x1-√1
2x2<0
∴f(x1)-f(x2)=(x1-x2)
(√1
2x1-√1
2x2)<0，即f(x1)<f(x2)
∴函数f(x)在[-1/2，
∞）是增函数。
∴最小值为-1/2
值域为[-1/2，
∞）
定义域：
明确几种特殊函数的定义域如带根的（大于等于零），未知数在分母的（不等于零），对数（大于零）等。值域：（1）配方法：适用于二次函数型（2）分离常数法：分子分母都有未知数例：y=(2x
1)/(x-3)
=[2(x-3)
7]/(x-3)
=2
7/(x-3)因为7/(x-3)不等于0所以y不等于2（3）反解法：例：y=(2x
1)/(x-3)
(y-2)x-3y-1=0所以x=(3y
1)/(y-2)所以y不等于2
f(x)=(ax
b)/(cx
d)f(x)不等于a/c
（4）判别式法：反解之后用判别式（5）换元法（6）图像法
f（x）=(2x
4-5)/(x
2)=2-5/(x
2)x属于[-5，-3]x
2必小于零则1/(x
2)在[-5，-3]上单调递减则-5/(x
2)在[-5，-3]上单调递增则2-5/(x
2)在[-5，-3]上单调递增所以ymax=f（-3）=7ymin=f（-5）=11/3
【分析】判断一个函数的奇偶性，首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则非奇非偶；若对称，则再判断f(-x)与f(x)的关系，f(-x)=f(x)为偶，f(-x)=-f(x)为奇，否则为非奇非偶。
a.解：易知f(x)=sinx2定义域关于原点对称，
又f(-x)=sin(-x)2=sinx2=f(x),所以f(x)为偶函数。b.解：易知f(x)=tanx
tanx/2定义域为x不=π/2
kπ，关于原点不对称，
所以f(x)为非奇非偶函数。c.解：f(x)=sinx
cosx定义域关于原点对称，
又f(-x)=sin(-x)
cos(-x)=cosx-sinx,既不=f(x),又不=-f(x)
所以f(x)为非奇非偶函数。d.解：易知f(x)=1/3cosx/2定义域关于原点对称，
又f(-x)=1/3cos(-x)/2=1/3cosx/2=f(x),所以f(x)为偶函数。

Answer 2

首先,最常用的就是导数法,利用定义证明函数y=f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
（1）任取x1，x2∈D，且x1
)f(x)是D上的增函数（减函数）。
过程为取值——作差——变形——判符号——结论。其实，这也是单调性的证明过程。
4。函数运算法
用单调函数通过四则运算得到的和差积商函数来判断函数的单调性的方法叫函数运算法。
设f，g是增函数，则在f的单调增区间上，或者f与g的单调增区间的交集上，有如下结论：
①f+g是增函数。
②－f是减函数。
③1/f
是减函数(f>0)。
④fg是增函数（f>0,且g>0）。
5。导数法
用导数符号来判断函数单调性的方法叫导数法。f（x）是增函数(减函数)f′>0(f′<0).
6。复合函数单调性判断法则
由函数u＝φ(x)和函数y=f(u)复合而成的函数y=f[φ(x)]叫复合函数.复合函数的单调性判断法则如表所示。口诀：相同则增，相异则减。
复合函数单调性的四种情形可列表如下。
函
数
单
调
性
①
②
③
④
内层函数t=φ（x）
↑
↓
↑
↓
外层函数y=f（t）
↑
↓
↓
↑
复合函数y=f[φ（x）]↑
↑
↓
↓
复合函数单调性的证明，请看参考资料
http://hi.baidu.com/ok%B0%C9/blog/item/c4c9ecc9e5e03d117f3e6f15.html
参考资料：http://hi.baidu.com/ok%B0%C9/blog/item/c4c9ecc9e5e03d117f3e6f15.html