Question

设集合A上的关系R，S是等价关系，证明R∩S也是A上的等价关系，并举例说明R∪S不一定是

Answer 1

对于任意的a∈a，因为r是等价关系，所以ara，由s的定义可知(a,a>∈s。所以s非空且有自反性。
如果
∈s，那么存在c∈a，使得arc，crb。因为r是等价关系，有对称性，所以brc，cra，由s的定义可知
∈s。所以s有对称性。
如果
,
∈s，那么存在d∈a，使得ard，drb。存在e∈a，使得bre，erc。因为r是等价关系，有传递性，所以由drb，bre，erc可知drc。由ard，drc以及s的定义可知
∈s，所以s有传递性。
所以，s是等价关系。

Answer 2

第一个验证一下就行
任何X属于A
(X,X)属于R
(X,X)属于S
所以属于R∩S
(自反性)
若
(X,Y)属于R∩S
则
(X,Y)属于R
(X,Y)属于S
所以
(Y,X)属于R
(Y,X)属于S
所以(Y,X)属于R∩S
(对称性)
若
(X,Y)属于R∩S
(Y,Z)属于R∩S
所以(X,Y)属于R
(Y,Z)属于R
所以
(X,Z)属于R
同理
(X,Z)属于S
所以
(X,Z)属于R∩S
(传递性)
所以R∩S是A上的等价关系
R∪S不一定是
A为自然数集
R为模2
同余关系
(即(X,Y)属于R
当且仅当
2整除(X-Y))
S为模3
同余关系
(即(X,Y)属于R
当且仅当
3整除(X-Y))
则
R∪S为
{(X,Y)|2整除(X-Y)或3整除(X-Y)}
(1,3)属于R∪S
(3,6)属于R∪S
但(1,6)不属于R∪S
所以属于R∪S不是等价关系