Question

线性回归方程公式是什么？怎么应用？

Answer 1

我们以一简单数据组来说明什么是线性回归。假设有一组数据型态为
y=y(x)，其中
x={0,
1,
2,
3,
4,
5},
y={0,
20,
60,
68,
77,
110}
如果我们要以一个最简单的方程式来近似这组数据，则非一阶的线性方程式莫属。先将这组数据绘图如下
图中的斜线是我们随意假设一阶线性方程式
y=20x，用以代表这些数据的一个方程式。以下将上述绘图的
matlab
指令列出，并计算这个线性方程式的
y
值与原数据
y
值间误差平方的总合。
>>
x=[0
1
2
3
4
5];
>>
y=[0
20
60
68
77
110];
>>
y1=20*x;
%
一阶线性方程式的
y1
值
>>
sum_sq
=
sum(y-y1).^2);
%
误差平方总合为
573
>>
axis([-1,6,-20,120])
>>
plot(x,y1,x,y,'o'),
title('linear
estimate'),
grid
如此任意的假设一个线性方程式并无根据，如果换成其它人来设定就可能采用不同的线性方程式；所以我们
须要有比较精确方式决定理想的线性方程式。我们可以要求误差平方的总合为最小，做为决定理想的线性方
程式的准则，这样的方法就称为最小平方误差(least
squares
error)或是线性回归。matlab的polyfit函数提供了
从一阶到高阶多项式的回归法，其语法为polyfit(x,y,n)，其中x,y为输入数据组n为多项式的阶数，n=1就是一阶
的线性回归法。polyfit函数所建立的多项式可以写成
从polyfit函数得到的输出值就是上述的各项系数，以一阶线性回归为例n=1，所以只有
二个输出值。如果指令为coef=polyfit(x,y,n)，则coef(1)=
,
coef(2)=,...,coef(n+1)=
。注意上式对n
阶的多
项式会有
n+1
项的系数。我们来看以下的线性回归的示范：
>>
x=[0
1
2
3
4
5];
>>
y=[0
20
60
68
77
110];
>>
coef=polyfit(x,y,1);
%
coef
代表线性回归的二个输出值
>>
a0=coef(1);
a1=coef(2);
>>
ybest=a1*x+a0;
%
由线性回归产生的一阶方程式
>>
sum_sq=sum(y-ybest).^2);
%
误差平方总合为
356.82
>>
axis([-1,6,-20,120])
>>
plot(x,ybest,x,y,'o'),
title('linear
regression
estimate'),
grid
参考资料：
http://www.nuist.edu.cn/courses/gllysltj/gltj/10/gltj10020101.htm

Answer 2

y^
=
a
+
b
x
y^为预测值，x为自变量。把x的值代入方程中可得预测值。