Question

已知函数f(x)=2x^2+ax+b/x^2+1的值域为〔1,3〕求a,b的值

Answer 1

函数y=(2x²+ax+b)/(x²+1)
与(y-2）x²-ax+y-b=0的关系：
函数是一种对应关系，由x可求y，
反之所有值域中的y都可以反求定
义域中的x。本题函数的定义域为
R，凡是能反解出实数x的y值都在
值域中，不能解出实数x的系数y
(暂且交y吧)则不是函数值。
所以函数值域既是能使方程
(y-2）x²-ax+y-b=0（#）
有实数解的y的集合。
当y-2=0时（#）不是二次方程，
最后单独验证（#）是否有解
当y-2≠0时（#）是二次方程，
其有解条件是Δ≥0
于是得到
4y²-4(2+b)y+8b-a²≤0(*)
∵值域是[1,3],(这里y≠2)
∴(*)的解集一定为[1,3](这里y≠2)
【若(*)的解集超出[1,3]的范围，
说明在[1,3]之外还有函数值，
就矛盾了。】
因此1,3是方程4y²-4(2+b)y+8b-a²=0
的根，用韦达求出a,b
接下来
∵y=2∈[1,3],y=2时，（#）必需有解
【还是那句话既是函数值都得反解出实
数x，实数x都能算出【1，3】内的函数值】
此时由y=2得到.x=0说明2是函数值,
y=2是由x=0算出来的。
即a=±2，b=2这组值确实能够是函数的值
域为【1，3】
本题采用求值域的方法叫做判别式法，
其理论根据是函数的概念，你要加强对
函数概念的理解，而不是利用图像
理解本问题。本题还可以用导数解决。
希望对你有所帮助！欢迎追问。