Question

已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥BC

Answer 1

在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC。

求证：AO⊥BC

思路点拨：要证AO⊥BC，即证AO是等腰三角形底边上的高，根据三线合一定理，只要先证AO是顶角的平分线即可。

证明：延长AO交BC于D

在△ABO和△ACO中，AB=AC(已知)，OB=OC(已知)，AO=AO(公共边)

∴△ABO≌△ACO(SSS)

∴∠BAO=∠CAO

即∠BAD=∠CAD(全等三角形的对应角相等)

∴AD⊥BC，即AO⊥BC(等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合)

Answer 2

证明：
∵AB=AC，OB=OC，AO
=
AO
∴三角形ABO
全等于
三角形ACO（边边边）
所以
角BAO
=
角CAO
延长
AO
交BC于D
因为
AB
=
AC,AD
=
AD
所以
三角形ABD
全等于
三角形ACD（边角边）
所以
角ADB
=角ADC
它们的和是180度，所以每个角是90度
所以
AO垂直BC