Question

如何证明函数在x＝0处的可导性与连续性

Answer 1

1.
首先求出x在0出的左极限与右极限；
2.
若左极限或右极限不存在，则函数在零处既不连续也不可导；
3.
若左极限和右极限都存在，但左右极限其中一个不等于该点函数值时，函数在零处既不连续也不可导；
4.
若左右极限相等且等于该点函数值时，则函数在零处连续，此时求出函数在零处的左右导数；
5.
当左右导数不相等时，则函数在零处不可导，此时函数在零处连续但不可导；
6.
当左右导数相等时，则函数在零处可导，此时函数在零处即连续也可导。
7.
拓展资料：函数连续性与可导性的关系：
（1）连续的函数不一定可导.；
（2）可导的函数一定是连续的函数；
（3）越是高阶可导函数曲线越是光滑；
（4）存在处处连续但处处不可导的函数.

Answer 2

函数连续：1左极限=右极限
2该点极限等于在该点的函数值
函数可导：左导数=右导数

Answer 3

首先，由于
故 f(x)在x=0处连续；
其次，再由
从而，f(x) 在x=0处可导，且导数为0.