Question

已知t＞0，当x≥（3-t）/2时，二次函数y=x²-2tx-t²＋6t的最小值记为M，求M最大值

Answer 1

解：二次函数y=x^2-2tx-t^2+6t,x≥(3-t)/2,t>0
二次函数y=x^2-2tx-t^2+6t=(x-t)^2-2t^2+6t,当且仅当x=t时,二次函数y有最小值M=-2t^2+6t
M=-2t^2+6t=-2(t-3/2)^2+9/2当且仅当t=3/2时M有最大值9/2
所以当t=3/2时,M有大值9/2

Answer 2

y'=2x-2t
当y'=0时，y有极小值M即x＝t时有极小值
当(3-t)/2≤t，即t≥1时
M＝6t-2t²
当t＝3/2时，Mmax=15/2
当(3-t)/2≥t时，即0＜t＜1时
M=1/4 t²+3/2 t+9/4
Mmax＝4

Answer 3

解，y=(x-t)^2-2t^2+6t
当x=t，则x≥(3-x)/2，即x≥1
则x≥1时，y最小为6t-2t^2(t≥1)
则M=6t-2t^2
则M最大=-2(t-1.5)^2+4.5=4.5
当0<t<1，y最小时，x=(3-t)/2
M=[(3-t)/2-t)]^2-2t^2+6t
=t^2/4+3t/2+9/4
=1/4(t+3)^2
<4