Question

二元函数的二重极限与二次极限

Answer 1

错误，累次极限（你说的二次极限）与二重极限之间只有一个结论，就是它们如果都存在，则必相等，其它基本上什么都互推不出。
本题反例：z=xsin(1/xy)，考虑(0,0)处的二重极限与累次极限。
首先二重极限显然是存在的，(x,y)--->(0,0)时，该函数是无穷小与有界函数的乘积，结果为0.
但是若先求y的累次极限lim[y--->0]
xsin(1/xy)极限不存在，先求x的累次极限lim[x--->0]
xsin(1/xy)是存在的。
纠正楼上一个问题：累次极限并不是二重极限的特殊路径。
以趋于原点为例：二重极限是沿着任何方式直接趋于(0,0)这一个点（极限过程中要遵守函数定义域）；
累次极限是所有点先趋于y轴，然后再沿y轴趋于原点，或所有点先趋于x轴，再沿x轴趋于原点，但此时注意到对于xsin(1/xy)这个函数来说，无论是x轴还是y轴都已不在函数的定义域了，因此这个累次极限的路径是超出二重极限的路径范围的。

Answer 2

命题正确。
二重极限存在是指动点沿着任何路径趋向于定点的时候极限都存在，并且相等。
而两个累次极限（就是你说的二次极限）只是众多路径当中两个特殊的路径，所以有一个不存在，二重极限一定不存在。
即使是两个累次极限存在也保证不了二重极限存在。

Answer 3

∫√(1+1/x)
dx
=∫√(x+1)
/√x
dx
=2∫√(x+1)
d(√x)
令√x=t，
那么√(x+1)
=√(t^2+1)
而∫√(t^2+1)
dt
=√(t^2+1)
*t
-
∫t
*d√(t^2+1)
=√(t^2+1)
*t
-
∫t^2/√(t^2+1)
*dt
=√(t^2+1)
*t
-
∫√(t^2+1)
-1/√(t^2+1)dt
于是2∫√(t^2+1)
dt=√(t^2+1)
*t
+∫1/√(t^2+1)dt
即∫√(t^2+1)
dt=t/2
*√(t^2+1)
+1/2
*ln|t+√(t^2+1)|
+c
所以代入√x=t，
原积分=2∫√(t^2+1)
dt=√x
*√(x+1)
+1/2
*|√x
+√(x+1)|
+c，c为常数