Question

高一数学4问题

1.奇函数f﹙x﹚在其定义域﹙﹣½ ，½﹚上是单调减函数，并且f﹙1－sinα﹚﹢f﹙1－sin²α﹚﹤0，求角α的取值范围 2.已知关于x的方程cos²x－sinx﹢a＝0，若0＜x＜π／2事方程有解，求实数a的取值范围。

Answer 1

1.f﹙1－sinα﹚﹤-f﹙1－sin²α﹚=f（sin²α-1﹚利用奇函数的性质
因为是减函数所以1－sinα>sin²α-1,再加上定义域﹣½<1－sinα<½，﹣½<sin²α-1<½
答案2kπ+π/6<α<2kπ+5π/6且α不等于2kπ+π/2
2.1-sin²x-sinx﹢a＝0,令t=sinx则0<t<1，所以t²+t-a-1=0有解，所以a+1>0,1-a<0
答案-1<a<1

Answer 2

因为f﹙1－sinα﹚﹢f﹙1－sin²α﹚﹤0
所以f﹙1－sinα﹚＜-f﹙1－sin²α﹚
又因为是奇函数所以f﹙1－sinα﹚＜f﹙sin²α-1﹚
所以-1/2＜1－sinα＜1/2——1
-1/2＜sin²α-1＜1/2——2
因为是减函数
所以（1－sinα）＞sin²α-1——3
由1.2.3解得π/4+2kπ＜a＜3π/4+2kπ（k∈Z）
（2）cos²x－sinx﹢a＝0
所以-sin^2a-sina+a+1=0
又因为0＜x＜π／2
所以0＜sina＜1
解设t=sina
则原式=-t^2+t+a+1=0
则t在0到1有解，所以b^2-4ac≥0，因为讨论很麻烦所以换个思维假设在0到1上没有解则f（0）≥0，
f（1）≥0解得a≥1所以取补集a＜1且b^2-4ac≥0解得a≥-4/5
所以综上所述-4/5≤a＜1