Question

设A=b2+c2-a2/2bc,B=c2+a2-b2/2ca,C=a2+b2-c2/2ab

1）当A+B+C=1时，求证"A的2n次方+B的2n次方+C的2n次方=3" (2)当A+B+C>1时，试问三个正数a,b,c能否构成三角形的三边长，并说明理由

Answer 1

A+B+C=(a^2+b^2-c^2)/2ab+(b^2+c^2-a^2)/2bc+（a^2+c^2-b^2）/2ac=1
＝＞c(a^2+b^2-c^2)+a(b^2+c^2-a^2)+b(a^2+c^2-b^2)=2abc,
(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)=0,
上面三式中至少有一个为0，
不妨设a+b-c=0，即a+b=c,
∴A=(b^2+c^2-a^2)/2bc=(b^2+a^2+b^2+2ab-a^2)/2b（a+b）=1
同理得C=-1,B=1,
∴原式=A^(2n）+B^（2n）+C^2n）=1^2n+1^2n+1^2n=1+1+1=3
根据余弦定理A+B+C＞1即
cosA+cosB+cosC＞1
cosA+cosB+cosC=cosA+2cos[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]
≤cosA+2cos[(B+C)/2]
=1-2[sin(A/2)]^2+2sin(A/2)
=-2[(sin(A/2)-1/2]^2+3/2
≤3/2
∴可构成三角形的三边