Question

有如下几个命题：①若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形；②函数y=s...

有如下几个命题： ①若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形； ②函数y=sinx+4sinx（0＜x＜π）最小值为4； ③若等差数列{an}前n项和为Sn，则三点（10，S1010），（100，S100100），（110，S101110）共线； ④若a，b为正实数，代数式a2b2+b2a2-6(ab+ba)+10的值恒非负； 其中正确命题的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Answer 1

解：①若sin2A=sin2B，则
2A=2B，或
2A+2B=π，即A=B
或C=π2，
故△ABC为等腰三角形或直角三角形，故①不正确．
②当x∈（0，π）时，函数y=sinx+4sinx≥2√sinx×4sinx=4，但其等号成立的条件是sinx=2，这是不可能的，故它的最小值不为4，由于利用基本不等式求最值时等号成立的条件不具备，故此命题不成立；
③∵{an}为等差数列，设其公差为d，依题意得，Snn=a1+（n-1）•d2，即为n的线性函数，故（10，S1010），（100，S100100），（110，S110110）三点共线，故③正确；
④设t=ab+ba，则t≥2，
a2b2+b2a2-6(ab+ba)+10=(ab+ba)2-2-6(ab+ba)+10=t2-6t+8=（t-3）2-1，
当t≥2时，（t-3）2-1的值不是恒非负，故错．
故选B．