Question

x1=1,xn=1/xn-1+1,证明极限limxn

求数列极限和极限存在准则的应用
设x1=1,x(n+1)=1+(xn/(1+xn)(n=1,2,.),.求limxn,n到无穷.只求具体证明过程.
极限不是二，看看上面的解答

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

解题步骤

为了方便观看，使用了一些小软件生成了数学符号。

另外附上我在做这类题型根据网课整理的解题套路：

Answer 3

x1=1

x（n+1）=1/（1+xn,）

x(n+1)(1+xn)=1

设 x-->无穷大，xn的极限存在

limxn=A

则limx（n+1)=A

故lim x(n+1)(1+xn)=A（1+A）=1

A^2+A-1=0

(A+1/2)^2=5/4

∵ A>=0

∴ A=(√5-1)/2

极限思想的思维功能

极限思想在现代数学乃至物理学等学科中，有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。

“无限”与’有限‘概念本质不同，但是二者又有联系，“无限”是大脑抽象思维的概念，存在于大脑里。“有限”是客观实际存在的千变万化的事物的“量”的映射，符合客观实际规律的“无限”属于整体，按公理，整体大于局部思维。

Answer 4

x1=1,x2=1+1/2=3/2>x1 x2x1,由归纳法,x(n+1)-xn>0,数列xn单增有界,极限存在,设为a
在x(n+1)=1+(xn/(1+xn)两边取极限得：
a=1+a/(1+a) 即：a^2-a-1=0,
解得：a=(1+√5)/2