Question

已知函数f（x）=2x2x+1+a是奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断函数在...

已知函数f（x）=2x2x+1+a是奇函数． （1）求实数a的值； （2）判断函数在R上的单调性并用函数单调性的定义证明； （3）对任意的实数x，不等式f（x）＞2m-1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）由f（x）=2x2x+1+a是奇函数，有f（-x）=-f（x），
∴2-x2-x+1+a=-(2x2x+1+a），
∴2a=-2x2x+1-12x+1=-1，
∴a=-12．
（2）f（x）在R上是增函数．
f（x）=2x2x+1-12=2x+1-12x+1-12=12-12x+1
设x1、x2∈R且x1＜x2，
f（x2）-f（x1）=(12-12x2+1)-(12-12x1+1)
=2x2-2x1(2x2+1)(2x1+1)，
∵x1＜x2，∴2x2＞2x1，
∴2x2-2x1(2x2+1)(2x1+1)＞0，即f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在R上是增函数．
（3）对任意的实数x，不等式f（x）＞2m-1恒成立，
则只要2m-1＜f（x）min，
∵2x+1＞1∴0＜12x+1＜1，
∴-1＜-12x+1＜0，
-12＜12-12x+1＜12，即-12＜f（x）＜12，
∴2m-1≤-12，
∴m≤14．即m的取值范围为：（-∞，14]．