Question

用数学归纳法证明1×n+2×(n－1）+3×(n－2）+……n×1=1÷6n(n+1）(n+2）

Answer 1

1.当n=1时，左边=1,右边=(1/6)*1*(1+1)*(1+2)=1,左边=右边， 所以原等式成立. 2.设当n=k（k>=1)，原等式也成立, 即1*k+2*（k-1)+3*(k-2)+...+k*1=(1/6)k(k+1)（k+2）成立. 3.当n=k+1时，原等式的左边=1*(k+1)+2*[（k+1)-1]+3*[(k+1)-2]+...+(k+1)*1 =[1*k+1]+[2*(k-1)+2]+[3*(k-2)+3]+……+[k*1+1] =[1*k+2*（k-1)+3*(k-2)+...+k*1]+[1+2+3+……+(k+1)] =(1/6)k(k+1)(k+2）+(k+1)(k+2)/2,(利用了2.假设) =(1/6)(k+1)(k+2)(k+3) 而右边=(1/6)(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]=(1/6)(k+1)(k+2)(k+3), 左边=右边, 所以，当n=k+1时,原等式也成立. 5。综上所述，对于任意正整数n,原等式都成立