Question

已知函数f（x）=x2+3x，数列{an}的前n项和为Sn，且对一切正整数n，点...

已知函数f（x）=x2+3x，数列{an}的前n项和为Sn，且对一切正整数n，点Pn（n，Sn）都在函数f（x）的图象上． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设A={x|x=an，n∈N*}，B={x|x=2（an-1），n∈N*}，等差数列{bn}的任一项bn∈A∩B，其中b1是A∩B中最的小数，且88＜b8＜93，求{bn}的通项公式； （3）设数列{cn}满足cn=nan-1，是否存在正整数p，q（1＜p＜q），使得c1，cp，cq成等比数列？若存在，求出所有的p，q的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x2+3x的图象上，∴Sn=n2+3n．
当n=1时，a1=S1=4；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+3n-(n-1)2-3(n-1)=2n+2，
当n=1时，也满足．
故an=2n+2．
（2）∵A={x|x=an，n∈N*}，B={x|x=2（an-1），n∈N*}，
∴A={x|x=2n+2，n∈N*}，B={x|x=4n+2，n∈N*}
∴A∩B=B，
又∵bn∈A∩B，∴bn∈B即数列{bn}的公差是4 的倍数
又A∩B中的最小数为6，∴b1=6，∴b8=4k+6，k∈N*，
又∵88＜b8＜93
∴88＜4k+6＜93k∈N*.，解得k=21．
等差数列{bn}的公差为d，由b8=6+7d=90得d=12，故bn=12n-6
（3）∵cn=nan-1=n2n+1，∴c1=13，cp=p2p+1，cq=q2q+1
若c1，cp，cq成等比数列，则(p2p+1)2=13(q2q+1)，即p24p2+4p+1=q6q+3．
可得3q=-2p2+4p+1p2，所以-2p2+4p+1＞0，
从而1-62＜p＜1+62
又p∈N*，∴p=2，此时q=12．
故当且仅当p=2，q=12，使得c1，cp，cq成等比数列．