Question

在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*．（Ⅰ）求证：{...

在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*． （Ⅰ）求证：{an-n}是等比数列； （Ⅱ）求数列{an}的通项公式； （Ⅲ）设数列{an}的前n项和Sn，求Sn+1-Sn的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由题设得an+1=4an-3n+1，则an+1-（n+1）=4（an-n），n∈N*．
又a1-1=1，所以数列{an-n}是首项为1，且公比为4的等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知an-n=4n-1，于是数列{an}的通项公式为an=4n-1+n．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得，an=4n-1+n，
所以数列{an}的前n项和Sn=1-4n1-4+n(1+n)2=4n-13+n(1+n)2，
则Sn+1-Sn=4n+1-13+(n+1)(2+n)2-[4n-13+n(1+n)2]
=-12（3n2+n-4），
由n∈N*得，当n=1时，-12（3n2+n-4）的最大值是0，
所以Sn+1-Sn的最大值是0．