Question

一道比较难解得数学分数问题

请教各位数学高手，这道题该怎么做？
分子是（10的四次方+324）*（22的四次方+324）*（34的四次方+324）*（46的四次方+324）*（58的四次方+324）
分母是（4的四次方+324）*（16的四次方+324）*（28的四次方+324）*（40的四次方+324）*（52的四次方+324）
求这个分数的值。
急！急！急！急! 急! 急! 急!

Answer 1

(10^4+324)(22^4+324)(34^4+324)(46^4+324)(58^4+324)/(4^4+324)(16^4+324)(28^4+324)(40^4+324)(52^4+324)
硬算显然是不可能的，观察发现：324=4*3^4
那么试拆一项看看结果
10^4+324=10^4+4*3^4=(10^2+2*3^2)^2-4*10^2*3^2=(13^2+3^2)(7^2+3^2)
……
其它项也有类似运算，找出通项式的算法
a^4+4b^4=(a^2+2b^2)^2-4a^2b^2=(a^2+2b^2-2ab)(a^2+2b^2+2ab)=((a+b)^2+b^2)((a-b)^2+b^2)

在本题中，b=3，不变，a分别是10、22、34……代入原式，可得
[(13^2+9)(7^2+9)(25^2+9)(19^2+9)(37^2+9)(31^2+9)(49^2+9)(43^2+9)(61^2+9)(55^2+9)]/[(7^2+9)(1^2+9)(19^2+9)(13^2+9)(31^2+9)(25^2+9)(43^2+9)(37^2+9)(55^2+9)(49^2+9)]
=(61^2+9)//(1^2+9)
=3730/10
=373

Answer 2

这里有一个诀窍
a^4+324=(a^2+6a+18)*(a^2-6a+18)
这个化简一下就明白了

然后,把分子和分母都用这个代进去,这个式子太长就不写了
再把相同的项消掉
分式就等于 (58^2+6*58+18)/(4^2-6*4+18)=373

Answer 3

解：
a^4+324=(a^2+18)^2-36a^2
=(a^2+6a+18)*(a^2-6a+18)
=[(a+3)^2+9]*[(a-3)^2+9]
原式分子=(13^2+9)*(7^2+9)*(25^2+9)*(19^2+9)*(37^2+9)*(31^2+9)
*(49^2+9)*(43^2+9)*(61^2+9)*(55^2+9)
原式分母=(7^2+9)*(1^2+9)*(19^2+9)*(13^2+9)*(31^2+9)*(25^2+9)
*(43^2+9)*(37^2+9)*(55^2+9)*(49^2+9)
相约得:原式=(61^2+9)/*(1^2+9)=3730/10=373

Answer 4

有一个公式
x^4 4y^4=(x�0�5 2y�0�5 2xy)(x�0�5 2y�0�5-2xy)
发现：324=4×3^4
(x�0�5 2×3�0�5 2x×3)＝((x 6)�0�5 2×3�0�5-2(x 6)×3)
原式=(58�0�5 2×3�0�5 2×58×3)/(4�0�5 2×3�0�5-2×4×3)=373