Question

一道高中函数问题

请大家帮忙做一下这道题，非常感谢！

已知：f（x)是[-1,1]上的奇函数，且f(1)=1,若m,n都属于[-1,1],m+n不等于0，【f(m)+f(n)】除以【m+n】>0.
(1)证明：f（x）是[-1,1上的增函数；
（2）若 f（x)<=t^2-2at+1 对所有x属于[-1,1]且a属于[-1,1] 恒成立，求实数t的取值范围。

急急急急急急！！！！！！

Answer 1

1. 设x1, x2 在[-1,1]内， 且 x1<x2.
则f(x2)- f(x1)=f(x2)+ f(-x1) ，而【f(m)+f(n)】除以【m+n】>0.
所以【f(x2)+ f(-x1)】/（x2-x1)>0，
而x1<x2， 所以f(x2)+ f(-x1)>0， 即f(x2)- f(x1)>0， 所以f（x）是[-1,1上的增函数。

2. 由第一问里已证： f（x）是[-1,1]上的增函数 ， 所以f（x）在[-1,1]上的最大值为f(1)=1。 所以 1<=t^2-2at+1. t^2>=2at 等式1
若t=0, 合题
若t>0, 由等式1得 t>=2
若t<0, 由等式1得 t<=-2

所以t的取值范围为 t>=2 或 t<=-2 或 0

Answer 2

(1)f(-x)=-f(x){x∈[-1,1]}且m,n符合
m+n>0或m+n<0
则f(m)+f(n)>0或f(m)+f(n)<0
f(m)>-f(n)
f(m)>f(-n)
m>-n
∵m,n∈[-1,1]
则f(x)是增函数
同理,若m<-n,f(m)<f(-n)[一样能验证,f(X)在[-1,1]上是增函数]

(2)只要大于f（x）在[-1,1]上的最大值就可以了，所以把f(1)=1带进去
1<=t^2-2t+1
t^2-2t>=0
t(t-2)>=0
t<=0时,t<=2
t>=0,t>=2

Answer 3

解：
（1）因为f（x)是【-1，1】的奇函数，
所以f(x)在【-1，1】关于原点对称，且是单调函数，
且f(1)=1,所以f(-1)=-1
1>-1,且f(1)>f(-1)
所以f(x)是【-1，1】上的增函数
第二题暂时不会

Answer 4

解法如下图所示

Answer 5

(1)设m>n,m，n属于[-1,1]
则m-n>0,
m+(-n)>0
而【f(m)+f(-n)】除以【m+（-n）】>0
所f(m)+f(-n)>0
由于奇函数，所以f(-n)=-f(n),
所f(m)-f(n)>0
f(m)>f(n)证毕.
(2)由于是增函数所以只考虑f(x)右端取到的最大值f（1）.
所以问题化为证1<=t^2-2at+1 对所有a属于[-1,1] 恒成立
2at>=t^2
分类讨论
t=0时显然成立，
t>0 时，约掉t,2a>t,t<-2
同理t<0时，t>2

综上 t=0,方法如此计算不知对不对。再算一遍吧