Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）经过点M(1，32)，其离心率为...

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）经过点M(1，32)，其离心率为12，O为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ） 设直线l的斜率为k，且经过椭圆C的右焦点F，与C交于A，B两点，点P满足OP=OA+OB，试判断是否存在这样的实数k，使点P在椭圆C上，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知可得e2=a2-b2a2=14，所以3a2=4b2①
又点M(1，32)在椭圆C上，所以1a2+94b2=1②
由①②解之，得a2=4，b2=3．
故椭圆C的方程为x24+y23=1．…（5分）
（Ⅱ） 椭圆C的右焦点F（1，0），设直线l的方程为y=k（x-1）
则由y=k(x-1)x24+y23=1.消y化简整理得：（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0------（7分）
设A，B，P点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）、（x0，y0），则
∵OP=OA+OB
∴x0=x1+x2=8k23+4k2，y0=y1+y2=k(x1+x2)-2k=-6k3+4k2．-------------（9分）
设P在椭圆C上，所以 x204+y203=1．
从而16k4(3+4k2)2+12k2(3+4k2)2=1，化简得4k2=3+4k2，无解
所以不存在这样的实数k，使点P在椭圆C上------------------------------------------------（12分）