Question

数列Tn=ln1/1^2+ln2/2^2+ln3/3^2+.....+lnn/n^2 求证Tn<=2n^2+n+1/4(n+1)

Answer 1

楼上都对
高中题吧
这样题目稍微分析一下并不难（关键在于分析通项,如何放缩）
也可以考察重要不等式
ln(x+1)<x,x>0
即lnx<x-1,x>1的简单运用,这个不等式有很多种证明方法
（如构造函数利用单调性证明,学了微积分也可以用微分中值定理证明等）
下面用单调性证明
考察函数f(x)=lnx-x+1,(x>1),其导数f'(x)=(1-x)/x<0,这样f(x)在x>1上单调减少
又
f(x)可在x=1处连续,故f(x)>f(1)=0,这样就得到了lnx<x-1,x>1
这里取n^2(>1)替换x便得到lnn^2<n^2-1
两边同时除以n^2得到(lnn^2)/n^2<1-1/n^2<1-1/[n(n+1)]=1-[1/n-1/(n+1)]
即
(lnn^2)/n^2<1-[1/n-1/(n+1)]
累加取n
from
2
to
n
得
2ln2/2^2+2ln3/3^2+...+2lnn/n^2
<(n-1)-(1/2-1/(n+1))=(2n^2-n-1)/[2(n+1)]
两边除以2即得ln1/1^2+ln2/2^2+ln3/3^2+.....+lnn/n^2<(2n^2-n-1)/[4(n+1)]<
(2n^2-n+1)/[4(n+1)]
http://zhidao.baidu.com/question/236843471.html?an=0&si=1