Question

已知集合P={x|1/2≤x≤3}，函数f（x）=log2 (ax^2-2x+2)的定义域为Q。

(1)若P∩Q=[1/2，2/3），P∪Q=（-2，3]，求实数a的值。 (2)若P∩Q=空集，求实数a的取值范围

Answer 1

(1)因为集合P={x|1/2≤x≤3}，函数f（x）=log2
(ax^2-2x+2)的定义域为Q。
而P∩Q=[1/2，2/3），P∪Q=（-2，3]，
所以ax^2-2x+2=0有两个根x1=-2,x2=2/3
从而4a+4+2=0,a=-3/2
(2)若P∩Q=空集,所以ax^2-2x+2>0的定义域在(-无穷大,1/2)或(3,+无穷大)
1.a>0,
Δ=4-8a>=0,a<=1/2
x1=2-√4-8a/2a<=1/2
-4<=a<=0舍去
2.a=0,x<1舍去
3.a<0
(1)3<(2-√4-8a)/2a
4a(9a-4)<=0
0<a<4/9舍去
(2)(2+√(4-8a))/2a<=1/2
显然成立
所以a<0