Question

|x–1|+|x–2|+|x–3|+...+|x–2019|当x？

当x＝_____时，有最小值______

Answer 1

解法之一如下：

因为

|x-1|+|x-2019|

≥|(x-1)-(x-2019)|＝2018，

|x-2|+|x-2018|

≥|(x-2)-(x-2018)|＝2016，

|x-3|+|x-2017|

≥|(x-3)-(x-2017)|＝2014，

… … … … … …

|x-1009|+|x-1011|

≥|(x-1009)-(x-1011)|＝2，

|x-1010|≥0，

且最后一个不等式当且仅当x=1010时等号成立，并且容易验证当x=1010时上面其余不等式的等号也成立，所以有

|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2019|

＝(|x-1|+|x-2019|)

+(|x-2|+|x-2018|)

+(|x-3|+|x-2017|)

+ … …

+(|x-1009|+|x-1011|)

+|x-1010|

≥2018+2016+2014+…+2+0

＝(2018+2)·1009/2

＝1019090，

当且仅当x=1010时等号成立，意即，当x=1010时，原式有最小值1019090.

Answer 2

本题有一个误区，绝对值。取1到2019的中间数1010，前面1009个，后面1009个，故有1009+1008+…1+0+1…+1008+1009。这样只有偶数:0+2+4+…+2016+2018，少奇数项，值最小1019090。若ⅹ>1010时，值随大而大。若ⅹ<1010时，值随小而大。