Question

已知直线l：kx-y+1+2k=0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若...

已知直线l：kx-y+1+2k=0（k∈R）． （1）证明：直线l过定点； （2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．

Answer 1

解：（1）直线l的方程可化为y=k（x+2）+1，
故无论k取何值，直线l总过定点（-2，1）．
（2）直线l的方程可化为y=kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，
要使直线l不经过第四象限，则k≥01+2k≥0，
解得k的取值范围是k≥0．
（3）依题意，直线l在x轴上的截距为-1+2kk，在y轴上的截距为1+2k，
∴A（-1+2kk，0），B（0，1+2k），
又-1+2kk＜0且1+2k＞0，
∴k＞0，故S=12|OA||OB|=12×1+2kk（1+2k）
=12（4k+1k+4）≥12（4+4）=4，
当且仅当4k=1k，即k=12时，取等号，
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x-2y+4=0．