Question

已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx．（I）求f（x）的最小正周期...

已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx． （I）求f（x）的最小正周期； （II）若x∈[0，π2]，求f（x）的最大值与最小值的和．

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）=2cos2x+2sinxcosx
=2cos2x-1+2sinxcosx+1
=cos2x+1+sin2x
=√2sin(2x+π4)+1，
∴函数f（x）的最小正周期
T=2π2=π．
（Ⅱ）当x∈[0，π2]时，2x+π4∈[π4，5π4]，
当2x+π4=π2，即x=π8时，
f（x）取得最大值f(π8) =√2+1；
当2x+π4=5π4，即x=π2时，
f（x）取得最小值f(π2) =√2(-√22) +1=0．
∴当x∈[0，π2]时，
f（x）最大值与最小值的和为f(π8) +f(π2) =√2+1．