Question

1. b不等于0，计算2n阶行列式D=

Answer 1

按第一行展开，得
D2n=a|a
0
……0
b
0
|+（-1）^(2n+1)b|0
a
0
0b
|
0
a
……
b
0
0
00a
b0
.
.
.
0
b
a00
00b
a0
b0
0a0
0b0
0a
00
00a
b00
00
按第2n-1行展开，得
D2n=a(-1)^[(2n-1)+(2n-1)]a|
a
0
……0
b
0
|-b(-1)^(2n-1+1)b|
a
0
0b
|
0
a
……
b
0
0
0a
b0
.
.
.
0
b
a00
0b
a0
b0
0a0
b0
0a
这样可以看出两个行列式与原来的行列式形式一样，只是阶数不一样
上述式子可以写成
D2n=a^2D2n-2-b^2D2n-2=(a^2-b^2)D2n-2=(a^2-b^2)D2(n-1)
由上述递推公式，可得
D2n=(a^2-b^2)D2(n-1)=(a^2-b^2)[(a^2-b^2)D2(n-2)]=……=（a^2-b^2）^n