Question

已知关于的不等式的解集为,且,求实数的取值范围.

已知关于的不等式的解集为,且,求实数的取值范围.

Answer 1

把原不等式右边移项到左边,通分后,根据两式与相除商为负数,转化为与的乘积小于,当时,把代入化简后的不等式中求出不等式的解集,发现满足,故不为,
然后分四种情况考虑:当大于时,判断出比小,利用不等式取解集的方法可得出不等式的解集,并判断出为的子集;
当时,求出此时不等式的解集,确定出集合,然后判断是否为的子集;
当大于小于时,判断出比大,利用不等式取解集的方法可得出不等式的解集,并判断出为的子集;
当小于时,判断出比小,利用不等式取解集的方法可得出不等式的解集,并判断出为的子集;
综上,得到满足题意的的取值范围.
解:由得:,
即,
,
当时,原不等式的解集不是的子集,故,
当时,,
分四种情况考虑:
当时,,则,
此时,不等式的解集;
当时,,故;
当时,,则,
此时不等式的解集不是的子集;
当时,,此时,不等式的解集或不是的子集,
综上,实数的取值范围为:.
此题考查了其他不等式的解法,以及一元二次不等式的解法,利用了转化及分类讨论的数学思想,是高考中常考的题型.